「うさぎ症」という言葉は、寂しがり屋で孤独に弱い性格を表す比喩表現として使われることがあります。
うさぎは、寂しいと死んでしまう（という迷信）に由来して、「一人になると不安になる人」の性格を「うさぎ症」と呼ぶことがあります。一般用語ではないですが、医学用語の「〇〇症」をもじって、性格・傾向・クセをちょっと大げさに、ユーモラスな表現にしたものでしょう。
「〇〇症」は、不安症、不眠症、依存症、うつ症、パニック症など、診断名や症候群の名称に使われる言葉です。「〇〇病」とは違って症候群や一時的な状態などに使用されるため、性格や性質を表す俗語としても使われてるんだと思います。
また個人的には、心配性、凝り性、飽き性、浮気性などの性格や性質を表すときに使う「〇〇性」と混同して使われている可能性もあると思っています。寂しがりという”性格”を示す意味では「うさぎ性」という方が正しいかもしれませんよね。まあおそらくは、寂しくて死んでしまう”病気”というニュアンスで「うさぎ症」として使われているんだと思いますが。
寂しがりな性格を端的に表す「うさぎ症」という言葉は、そこまで広く認知・使用されている言葉ではないかもしれませんが、SNSを見ると使っている人は一定数いるようです。
私は昔から普通に使っていたので、逆に通じなかったときはびっくりしました。周りにも普通に使っていた人もいたので浸透している言葉（スラング）だと思っていました。私の経験値では、関西人には通じるけど、関東出身の人にはあまり通じない傾向があると思います。
寂しがりって、精神的に自律してなくて、か弱い印象があり、人によっては隠したい性格のひとつなのかもしれません。だからこそ「私、寂しがりなんよ」というよりも「私、うさぎ症なんよ」という方が、か弱い（ネガティブな）印象をユーモアに隠せるから照れ隠しの意味でも使われているのかな、なんて思ったりも。
そういう意味で、関西人の方が寂しがりな自分の一面を隠して少し強がるために「うさぎ症」とふざけて使ってる人が多いのかもしれませんね。
おわり。
